Les Suites
Les suites
Activité : Définir une suite
Objectif : Introduire la notion de suite et les différents modes de définitions
A - Une suite peut-être définie par la liste de ses termes
Complétez les listes suivantes et expliquer comment on psse d'un terme au suivant :
a - 1, 3, 5, 7, 9, ...
Correc : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 ... (+2 à chaque fois)
b - 0, 4, 8, 12, ...
Correc : 0, 4, 8, 12, 16, 20 ... (+4 à chaque fois)
c - 1, -3, 9, -27, 81, ...
Correc : 1, -3, 9, -27, 81, -243 (x-3 à chaque fois)
d - 1, 2, 4, 7, 11, 16
Correc : 1, 2, 4, 7, 11, 15, 21, (rajoute 1 de + à chaque chiffre)
B- Le terme Un est donné en fonction de n
a - Calculer u(1), u(2), u(3) et u(4)
U(n) = 3-5n
U(1) = 3-5 = -2
U(2) = 3-10 = -7
U(3) = 3-15 = -12
U(4) = 3-20 = -17
b- Quand il s'agit d'une suite, on note u(n) sous la forme Un. Avec cette nouvelle ntation, réecrire les résultats précédents
b) U(1) = -2 on U1 = -2
U(2) = -7 on note U2 = -7
U(3) = -12 on note U3 = -12
U(4) = -17 on note U4 = -17
2 - Soit la suite (Un) définie pour tout entier naturel n par Un = 2(1+3^n)
Calculer U^o, U^1, U^2, U^3, U^4
Uo = 3-5xO = 3
Uo C'est le premier terme de la suite
U1 C'est le deuxième terme de la suite
Un = 3-5n C'est le terme général de la suite
Activité : Calcul
Uo = 2(1+1^o) = 4
U1 = 2(1+3^1) = 8
U2 = 2(1+3²) = 20
Etc
Activité : Soit la suite U(n) définie pour Un = 2/n. Calculer les 4 premiers termes de la suite
U(3) = 2/3
U(1) = 2/1
Suite récurrente : Soit la suite U(n) définie par
{UO = -2
{Un+1 = 3Un-5
Calculer les 4 premiers termes
{UO = -2
{U1 = 3x(-2)-5 = -6-5 =-11
{U1 = -11
{U2 = 3x(-11)-5 = -33-5 = -38
Etc
Soit la suite U(n) définie par
{U1 = 3
{Un+1 = (-1)^nxUn
Calculer les 4 premiers termes
{U1 = 3
{U2 = (-1)^2x3 = 3
{U2 = 3
{U3 = (-1)^3x3 = -3
Exercice 3
{U1 = 3
{Un+1 = (-1)nxUn
Les 4 premiers termes
n=1 ; U2 = (-1)1xU1 = (-1)x3
n=2 ; U3 = (-1)²xU2 = 1x(-3) = -3
n=3 U4 = (-1)3xU3 = (-1)x-3 = 3
Exercice
{Uo = -2
{Un+1=(n+1)Un
{Uo = -2
{U1 = (O+1)x-2
=-2
U2=(1+1)x-2 = -4
U3 = (2+1) x-4 = 3x(-4) = -12
U4 = (3+1)xU3 = (3+1)x(-12) = -48
Sens de variation d'une suite
Un est une suite croissante si seulement
Un+1 -Un > Ou égal à O pour tout n appartient aux réels
Un est une suite décroissante si seulement Un+1-Un< Ou égal à O pour tout n appartient aux réels
Exemple
Soit la suite Un est définie par Un = 3n-5
Question : sens de variation de la suite Un
Un = 3n-5
Un+3(n+1)-5
Un+1-Un = 3(n+1) – 5 -(3n-5) = 3n +3-5 -3n+5 = 3
Un+1=Un> O dont Un est une suite croissante
Exercice
1)Un=né
2)Un
Soit la suite U(n) définie par Un = 3n
Calculer Un+1* ; Un-1* ; U2n
Un+1* = 3(n+1) = 3n+3
Un-1* = 3(n-1) = 3n-3
U2n = 3(2n) = 6n
Un+1 = 3n+1 = 6n
Rappels : Un+1-Un>O Si seulement si U(n) est croissante pourtout n. Un+1-Un < O si seulement si U(n) est une suite décroissante poutout n € N
Exercice
Un = n²
Un+1 (n-1)²
Un+1-Un = (n+1)²-n² = (n²) +2xnx1+(1)²-n² = 2n+1
1+2n>O car n € N. Un + 1-U>O U(n) est une suite stricement croissante pour n € N
Un = -3n = -3(n+1) = -3n-3
Un+1-U<O Un est une suite stricement décoissante pour tout n € N.
Un = 3n/n+1
Un = 3n/n+1
Un+1* = 3(n+1)/n(1)+1 = 3n+1/(n+1)+1
=3n+1/N+2
Un+1*-Un = 3n+3/n+2 - 3n/n+1
=(3n+3)(n+1)/(n+2)(n+1) - 3n(n+2)/(n+1)(n+2)
=3
Dénominateur positif et numérateur posifit donc résultat positif.
Suite arithmétique
Exemple : Soit U(n) la suite définie par Un=3n
Calculer les 5 premiers termes
U0*=O
U1*=1
U2*=6
U3*=9
U4*=12
U1*-UO*=3
U2*-U1*=3
U3-U2=3
U(n) s'appelle une suite arithmétique de raison 3 et de premier terme UO*=0
Définition : U(n) est une suite arithmétique de raison a si seulement si Un+1-Un=A
Activité : Définir une suite
Objectif : Introduire la notion de suite et les différents modes de définitions
A - Une suite peut-être définie par la liste de ses termes
Complétez les listes suivantes et expliquer comment on psse d'un terme au suivant :
a - 1, 3, 5, 7, 9, ...
Correc : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 ... (+2 à chaque fois)
b - 0, 4, 8, 12, ...
Correc : 0, 4, 8, 12, 16, 20 ... (+4 à chaque fois)
c - 1, -3, 9, -27, 81, ...
Correc : 1, -3, 9, -27, 81, -243 (x-3 à chaque fois)
d - 1, 2, 4, 7, 11, 16
Correc : 1, 2, 4, 7, 11, 15, 21, (rajoute 1 de + à chaque chiffre)
B- Le terme Un est donné en fonction de n
a - Calculer u(1), u(2), u(3) et u(4)
U(n) = 3-5n
U(1) = 3-5 = -2
U(2) = 3-10 = -7
U(3) = 3-15 = -12
U(4) = 3-20 = -17
b- Quand il s'agit d'une suite, on note u(n) sous la forme Un. Avec cette nouvelle ntation, réecrire les résultats précédents
b) U(1) = -2 on U1 = -2
U(2) = -7 on note U2 = -7
U(3) = -12 on note U3 = -12
U(4) = -17 on note U4 = -17
2 - Soit la suite (Un) définie pour tout entier naturel n par Un = 2(1+3^n)
Calculer U^o, U^1, U^2, U^3, U^4
Uo = 3-5xO = 3
Uo C'est le premier terme de la suite
U1 C'est le deuxième terme de la suite
Un = 3-5n C'est le terme général de la suite
Activité : Calcul
Uo = 2(1+1^o) = 4
U1 = 2(1+3^1) = 8
U2 = 2(1+3²) = 20
Etc
Activité : Soit la suite U(n) définie pour Un = 2/n. Calculer les 4 premiers termes de la suite
U(3) = 2/3
U(1) = 2/1
Suite récurrente : Soit la suite U(n) définie par
{UO = -2
{Un+1 = 3Un-5
Calculer les 4 premiers termes
{UO = -2
{U1 = 3x(-2)-5 = -6-5 =-11
{U1 = -11
{U2 = 3x(-11)-5 = -33-5 = -38
Etc
Soit la suite U(n) définie par
{U1 = 3
{Un+1 = (-1)^nxUn
Calculer les 4 premiers termes
{U1 = 3
{U2 = (-1)^2x3 = 3
{U2 = 3
{U3 = (-1)^3x3 = -3
Exercice 3
{U1 = 3
{Un+1 = (-1)nxUn
Les 4 premiers termes
n=1 ; U2 = (-1)1xU1 = (-1)x3
n=2 ; U3 = (-1)²xU2 = 1x(-3) = -3
n=3 U4 = (-1)3xU3 = (-1)x-3 = 3
Exercice
{Uo = -2
{Un+1=(n+1)Un
{Uo = -2
{U1 = (O+1)x-2
=-2
U2=(1+1)x-2 = -4
U3 = (2+1) x-4 = 3x(-4) = -12
U4 = (3+1)xU3 = (3+1)x(-12) = -48
Sens de variation d'une suite
Un est une suite croissante si seulement
Un+1 -Un > Ou égal à O pour tout n appartient aux réels
Un est une suite décroissante si seulement Un+1-Un< Ou égal à O pour tout n appartient aux réels
Exemple
Soit la suite Un est définie par Un = 3n-5
Question : sens de variation de la suite Un
Un = 3n-5
Un+3(n+1)-5
Un+1-Un = 3(n+1) – 5 -(3n-5) = 3n +3-5 -3n+5 = 3
Un+1=Un> O dont Un est une suite croissante
Exercice
1)Un=né
2)Un
Soit la suite U(n) définie par Un = 3n
Calculer Un+1* ; Un-1* ; U2n
Un+1* = 3(n+1) = 3n+3
Un-1* = 3(n-1) = 3n-3
U2n = 3(2n) = 6n
Un+1 = 3n+1 = 6n
Rappels : Un+1-Un>O Si seulement si U(n) est croissante pourtout n. Un+1-Un < O si seulement si U(n) est une suite décroissante poutout n € N
Exercice
Un = n²
Un+1 (n-1)²
Un+1-Un = (n+1)²-n² = (n²) +2xnx1+(1)²-n² = 2n+1
1+2n>O car n € N. Un + 1-U>O U(n) est une suite stricement croissante pour n € N
Un = -3n = -3(n+1) = -3n-3
Un+1-U<O Un est une suite stricement décoissante pour tout n € N.
Un = 3n/n+1
Un = 3n/n+1
Un+1* = 3(n+1)/n(1)+1 = 3n+1/(n+1)+1
=3n+1/N+2
Un+1*-Un = 3n+3/n+2 - 3n/n+1
=(3n+3)(n+1)/(n+2)(n+1) - 3n(n+2)/(n+1)(n+2)
=3
Dénominateur positif et numérateur posifit donc résultat positif.
Suite arithmétique
Exemple : Soit U(n) la suite définie par Un=3n
Calculer les 5 premiers termes
U0*=O
U1*=1
U2*=6
U3*=9
U4*=12
U1*-UO*=3
U2*-U1*=3
U3-U2=3
U(n) s'appelle une suite arithmétique de raison 3 et de premier terme UO*=0
Définition : U(n) est une suite arithmétique de raison a si seulement si Un+1-Un=A